ここからハイパー論理に。
最初に、前回の宿題の解答から。
ＺＦ＋￢ＡＣで登場する新たな空集合を
∅（￢ＡＣ）＝｛Ａ｜∀ｚ∈Ｘ∃ｔ（ｚ∩Ａ＝｛ｔ｝｝・・・（１）
と設定したわけですが。
一つだけ気になる懐疑が残るはず。
「ＺＦ＋￢ＡＣにおいて、（１）はプロパークラスなのでは？
少なくとも、ＺＦＣでは、（１）はプロパークラスになる。」
この点を詰めるには、置換公理、というか、分出公理での抑え集合の果たす役割が大事になります。
そもそも、￢ＡＣにより
∃Ｘ（￢（∅∈Ｘ）∧￢∃Ａ∀ｚ∈Ｘ∃ｔ（ｚ∩Ａ＝｛ｔ｝））
なる集合Ｘが存在するわけです。
これの具体例Ｘを取ると言いましたが。
それはね、集合階層において、
Ｘ∈Ｖ（δ）
なる順序数δが存在するということ。