２０２３年１２月２８日

２０２３年１２月２８日　（有限の日）

 

形式公理体系におけるシェーマを扱う際。

枠外自由集合の視点から見たのは、私が初めてですよ。

だって、自由集合という概念自体が私のオリジナルなんだから。

従来は、あくまでも、枠内普遍の立場で捉えてきたのですが。

それが無理だと分からせたのが前回の議論です。

土台の集合論レベルで駄目だと分かったでしょう。

Δ理論の活躍の場です。

 

ここまで把握できたとして。

そもそも、ＺＦの置換公理ＡＲのシェーマでは

ψ１、ψ２、・・・

と無限に論理式（対応記号）を追加していくわけですが。

この結果、ＺＦ公理系は再帰的になるのかな？

再帰的にはならないでしょうが。

Δ（ＺＦ）は曖昧集合なんだから。

 

それでも、何とか公理体系として振舞えるのは。

ＺＦで何かを証明する場合。

そこで使う置換公理の具体例は有限個だからです。

無限個の置換公理を使うことは有り得ません。

それゆえに、シェーマ採用しても公理体系は大丈夫なのですが。

だからと言って、そのシェーマが自由集合にならないわけじゃないの。

 

一般的にシェーマでの

ψ１、ψ２、・・・

が再帰的になるのは、規則正しく生成可能な場合のみ。

任意閉論理式追加で再帰的になるのは有限個の範囲までです。

こういう方向から見ると、termや公理体系設定の重要性が分かるでしょう。

歴史記念に、今までの私のtermに関する論証の斬新さを強調しておくと。

 

人生のハイパー論理原理□

公理系のシェーマレベルで自由集合が登場する（ケースがある）。　┤　

（□は適切な数字で置き換えること。

ここの解説記事は膨大な情報量になってきたので。

数字番号の順番をチェックするのが面倒です。

ＡＩ程度にやらせれば丁度の仕事だ。）

この導入部から、今回の本論に。

 

そもそも、一般的に

「無限個の公理追加」

って不可能でしょう。

書き切れないもの。

だからこそ、

「シェーマ」

なんて用語で誤魔化してきたのよ。

 

こういうのが、私が終始一貫指摘し続けてきた。

「表現可能性」

問題です。

こういう処で重要性が表出するのよ。

では、こういう事態に、どう対処するのか？

それこそが述語論理のコンパクト性ですよ。

 

「矛盾の視点から見たら、実質有限個の世界観でＯＫ宇宙。」

という内容です。

しかし、それは、矛盾の観点から見たらです。

表現可能性は別儀。

この意味、分かるかな？

 

第一階述語論理で書いた理論Ｔで矛盾しているものはいくらでもあるし。

矛盾してなくても、第一階述語論理で書けないものはある。

論理の種類の話じゃないですよ。

古典論理で、２値論理に限定してもです。

これが表現可能性問題。

判ってきたかな、ここの機微というか、秘孔が。

 

いずれにせよ、置換公理のシェーマは枠内概念の

「compact性」

と密接に関連しています。

矛盾の観点から枠の内外を対比させておくと

「（枠外）自由性＋有限の立場　ｖｓ　（枠内）コンパクト性」

となります。

両者を昇華するのが

「ハイパーコンパクト」

ですが、これに関しては稿を改めて。

 

この文脈で、淵野を踏み台にして。

ＺＦ＋（∞）を再度、取り上げます。

（∞）の定義は復習しておくこと。

ちなみに、（∞）をシェーマとみるかどうかは気分次第。

取り敢えず、無限個の公理と把握してください。

今や自由集合が登場した、この局面で気になるのは、

「ＺＦ＋（∞）は枠内体系として許容可能か？」・・・（体系）

 

実は、この懐疑も大事です。

通常、公理体系と言う場合、formulaの部分集合として。

再帰的に定義可能と想定されます。

だからこそ、論理ベースで機械的な

「証明可能性」

という概念が計算可能の範囲に収まり。

それゆえ、逆に、証明可能の範囲を超えた不完全性定理の価値があるのです。

 

この前提の下、（体系）はＹｅｓかＮｏか？

term記号の有限性を前提にした御蔭で。

（∞）の具体例は再帰的になっていると解釈できます。

これが把握できた後処理として。

関数合成基準ではなく、自然数導入表現の御利益が出るという筋書き。

何遍も繰り返し確認しておきますが。

可算無限個のtermはＯＫですが。

可算無限個の個体定数や関数記号は駄目ですよ。

 

ここでの問題は。

果たして、これがＺＦ（｛ｘ｜｝）の矛盾証明になるかどうかでした。

これに関しては、すでに、駄目出しをしておきましたが。

今回は、より深い分析をします。

目下の課題は、置換公理シェーマＡＲの自由性ですが。

これを、有限の立場で切り抜けると。

一応、（体系）はＹｅｓ。

 

しかしながら、この段階で枠内派が主張できる懐疑は、精々が

「述語論理のコンパクト定理が正しければＺＦ＋（∞）は矛盾するのでは？」

のはず。

よって、まず大事なのは、この前提条件

「述語論理のコンパクト定理」・・・（compact）

が正しいのかどうかです。

 

だって、ＺＦは（枠内で）矛盾してるのですよ。

私が証明しました。

今や、数学の全ての定理（の証明）を疑うべきなの。

この観点が大事。

しかし、淵野には、というか、全ての数学者達は。

そういう視点で物事を見ることができないの。

アプリオリに（compact）は正しいと信じて生きています。

 

よって、（compact）の真偽問題を無視している。

というか、未熟で思い及んでいない。

「ＺＦは第一階述語論理ベースで書けている。

つまり、ＺＦ公理体系は再帰的だ。

ゆえに、無矛盾。」

なんてレベルの妄想で生きているのでは？

フフン、甘いわ。

 

凄い三段論法もあるものだ。

１段⇒２段

２段⇒３段

と

「非演繹推論」

の歴史的な見本市になっていますよ。

類推の一種だな。

これが猿の知力限界だということ。

 

今や、（compact）の真偽自体が怪しいの。

この点、どう対処すれば良いのか？

全ての数学者は他人事じゃないでしょう。

枠内猿よ、己の未熟さが身に沁みるだろう。

ガザよりも狭い了見だぜ。

いつまでも、神に頼らずに、目から鱗をとって。

少しは、自分で物事を考える癖をつけなさい。

 

ここで忘れないように。

私は、こういう記事を公表する必要の無い立場ですよ。

敢えて道草食うのは、猿の知力計測ができるからです。

よって、後に、この論点を深く分析していきますが。

現段階では、（compact）問題は正しいと仮定します。

それでも、取り敢えずは、

「ＺＦと（∞）が相互矛盾している」

としか主張できないでしょう。

 

この点を淵野は、どう考えていたのか？

彼の未熟な解説では

「（∞）はＺＦ外だから、ＺＦ矛盾の証明ではない。」

程度の論考に解釈できますね。

しかし、そのレベルでは話にならないということ。

次回は、この点を、より深く分析していきます。

これで４２８町目。