２０２１年４月２８日 （σの日）
前回
ＺＦ（＃’）－（ω）＋￢（ω）・・・（１）
ｖｓ
メタ（ＺＦ（＃’）－（ω））・・・（２）
を考え、（１）＋（２）で矛盾する時。
（１）は無矛盾なのに、（１）＋（２）が矛盾する可能性について言及しました。
こうなると、ＺＦ矛盾に到達できません。
何とか、（１）＋（２）の矛盾から（１）の矛盾を出したいわけだ。
この為に、どうすれば良いのか？
というわけで、以下、前回の続きになります。
まずは、今までのコード先を｛１，０｝語ベースから。
自然数ベースに変更し。
更には、自然数のリストで留めず、最後まで自然数としてコードするの。
これがゲーデル方式ですが。
キチンと区別するため、自然数へのコードをσとすると。
集合表現｛ｘ｜φ（ｘ）｝のコード結果
σ（｛ｘ｜φ（ｘ）｝）
が決まり。
（ＺＦ（＃’）－（ω））ＳＥＴ（（⏀２））のコード結果
σ（（ＺＦ（＃’）－（ω））ＳＥＴ（⏀（２）））
も決まります。
そこで、自然数
σ（（ＺＦ（＃’）－（ω））ＳＥＴ（⏀（２）））
と
σ（（ＺＦ（＃’）－（ω））ＳＥＴ（⏀（ω）））
の大きい方より、更に大きい自然数Ｊを取り。
ωの代わりに、有限のＪまで考えます。
これで、
「σによるコード結果がＪ以下になる｛ｘ｜φ（ｘ）｝表現」
というものが数学的にハッキリ決まります。
この表現族をＹとすると。
Ｙには⏀（２）も⏀（ω）も含まれます。
自然数へのコードというのは、こういう時に便利なのよ。
分かったかな、コードの伏線が。
但し、計算機向けには、｛１，０｝語の方が馴染むな。
実際、計算量理論と繋がるし。
これについては、後に。
さて、勝負は、ここからです。
前回、メタのβ’の方はＶ（ω）で考えていたわけですが。
これは、ＺＦ（＃’）－（ω）からの（ω）の独立性を確認したかったから。
この確認がＶ（ω）で出来ることは当然ですが。
Ｖ（Ｊ）で確認できるのか？
もしできるなら、（１）＋（２）の矛盾の原因である
「β’で（ω）を使う」
が回避できるように見えます。
しかし、Ｖ（ω）を途中でチョンギルと、ＺＦ（＃’）－（ω）のモデルになりませんね。
冪集合の公理なんかが成立しなくなりますから。
よって、この方向の考察はストップ。
Ｊを考えたのは、別の伏線意図があるからです。
以下、
（ＺＦ（＃’）－（ω））ＳＥＴ（ｘ）の定義中の
（∃α）（ｘ∈Ｖ（α））
でのαの具体例としてＪを採用し。
（ＺＦ（＃’）－（ω））├ ｘ∈Ｖ（Ｊ）
ベースで考察します。
これで、無限が介入する余地がなくなるという作戦。
この結果、集合関数μ’（ｘ）が、“”コードの場合と同様に決まります。
さて、上で気軽に
「Ｙには⏀（ω）が含まれる」
と述べました。
σコードで考えれば、確かに含まれます。
一方で、⏀（ω）の定義は（ω）公理から来ています。
具体的には
∃Ｙ（⏀∈Ｙ∧ ∀ｘ∈Ｙ（ｘ∪｛ｘ｝∈Ｙ））
ですね。
ここから
⏀（ω）＝｛Ｙ｜（⏀∈Ｙ∧ ∀ｘ∈Ｙ（ｘ∪｛ｘ｝∈Ｙ））｝・・・（３）
と設定しました。
上で、この⏀（ω）はＹに属すると言いましたが。
何故、そう思ったのか？
σ（（ＺＦ（＃’）－（ω））ＳＥＴ（⏀（ω）））がＪより小さいからですね。
しかるに、一方で、（ω）はＶ（ω）で評価するとＮｏのはず。
それが、（ＺＦ（＃’）－（ω））からの独立ということです。
だったら、⏀（ω）はＹに属してはいけないのでは？
これは、どういう相克なのか？
ここでＺＦ矛盾の本質に迫っているのです。