２０２３年６月２８日 （記号の日）
今回からは淵野の間違いをハッキリさせていきます。
淵野は可算無限個の個体定数を導入していますが。
この場合、それが、どのレベルの集合概念なのか不明です。
ここに、枠内・枠外という概念が関与します。
彼の場合、あくまでも、普遍枠内でのＺＦ内外というレベルのつもりでしょうが。
自由集合登場後は、そういう時代じゃなくなるのよ。
普遍枠内外という視点も干渉し始めるの。
いずれにせよ、彼の論点では再帰的にtermが決まらない可能性があるわけです。
まずは、この点が重要。
可算無限個の個体定数を仮定して。
自然数で
１、２、３、・・・
と番号付けていますが。
それは可付番というレベル。
再帰的になるかどうかは別儀。
念の為に、この段階で素人向けに確認しておきますが。
termやformulaが再帰的に定義されるとは、
「それ（のコード集合）を、その他（のコード集合）と区別する決定アルゴリズムがある」
という意味ですよ。
可算無限個のtermをキチンと再帰的に把握するには。
私が指摘したように、
「有限個の個体定数＋有限個の関数記号」・・・（有限）
べースでterm設定した方が分かり易いのですよ。
というか、そうすべきだし。
自然と、そうなってくる宿命。
ところが、腰弁教授猿は、そう考えないの。
どういう意味なのか、推察しつつ。
以下、真理（心理）分析していきます。
前回の内容を見て、素人は不思議に感じるカモ。
「自然数
０、１、２、・・・
は計算可能なはず。
つまり、再帰的に定義できるだろう。
それなのに、可算無限個の記号（個体定数）を使っている。
これは、どういうことだ？」
などと思っているでしょう。
その懐疑こそが形式体系の基本中の基本が分かってない証拠。
ここの秘密は？
集合論では、自然数は
⏀＝０、｛⏀｝＝１、｛０，１｝＝２、｛０，１，２｝＝３、・・・
で定義されます。
それにより、自然数は１個の個体定数
⏀
と１個の関数記号
｛｝
で定義できると思うカモ。
しかし、厳密にいえば、
関数記号としての｛｝が何変数かハッキリしていません。
何故、こういう曖昧性が許容されるのか？
それはね、記号
｛ｘ｝、｛ｘ，ｙ｝、｛ｘ，ｙ，ｚ｝、・・・
とは、便宜的な
「簡略表現」
だからです。
本来は、｛ｘ｜ψ（ｘ）｝使ってキチンと定義すべきだということ。
つまり、｛ｘ｜｝だけが正式に許容される関数記号です。
但し、重層構造なので、通常の意味の関数記号ではあらしゃいません。
それでも、そういうオリジナルな１個の
「重層構造（関数）記号」
をtermに採用しているのよ。
それがＺＦ(｛ｘ｜｝)です。
半天狗のＺＦでは、こういう一番大事な論点を無視していますが。
それはさておき。
例えば、｛０，１，２｝に対する元の正式のtermは
｛ｘ｜ｘ＝０ ∨ ｘ＝１ ∨ ｘ＝２｝
で、何とか、自然数３に対応する性質を形式的に表現できてますが。
それでも、簡略表現
｛０，１，２｝
の直接性とは比べ物にはならない。
この省略表現の便利さが高じて。
こちらを正式なterm表現だと錯覚すると。
「記号｛｝とは、項数の違う、可算無限個の異なる関数記号
｛｝、｛，｝、｛，，｝、・・・」・・・（簡略）
のことだ。
だから、逆に、この事実が可算無限個の記号を容認する証拠になる。」
とか、言い出し兼ねない。
馬化、そうじゃないの。
便宜的な簡略記号の導入ですよ。
それでも、
「可算無限個の記号ベースで、再帰的にできる見本になっている」
とは言い張れますね。
しかし、その認識が青いのよ。
それに対する神の宣託は
「それは簡略記号であり、関数記号ではない。
termの定義に採用できるのは個体定数と関数記号のみだ。」
となります。
納得できたかな？
termの定義を離れて、一般に
「可算無限個の記号列で再帰的に定義できるものはあるか？」
と問われると、解答はＹｅｓ。
しかし、集合論においては、termは有限個の記号から構成されます。
では、他の理論においては、どうか？
既存の理論で可算無限個のterm記号を採用している理論はあるか？
ありませんね。
それでも、ここの論点である自然数の表現について。
もう少し、分析する必要があります。
このため、自然数論の公理化を見ておきます。
ペアノの自然数論では
出発点の０と後続関数suc（ｘ）を使って
０、suc（０）、suc（suc（０））、・・・
と定義されます。
そして、便宜上、
suc（０）＝１、suc（suc（０））＝２、・・・
と名前を付けることは可能です。
こういうことなんですよ。
こう言っても、まだ、
「可算無限個の記号ベースでも再帰的になる。
ゆえに、termでも、可算無限個の記号導入可能。
既存の理論にはなくても、新理論として提示すればＯＫ宇宙。
実際、淵野は、そういう理論構築したのだ。」
と考えるカモ。
やれやれだぜ。
本質が把握できてない模様。
もう少し、分析しておくと。
自然数は
０、１、２、３、４、５、６、７、８、９
と１０個の記号をベースにして。
後は、規則正しく
１０
・・・
１００
・・・
となっていくので計算可能だと分かるの。
可算無限個の記号使っているんじゃなくて。
１０個の個体定数と
「位取り」
という１個の関数を使っているのですよ。
例えば、
１０、１１、１２、・・・
を表現する新記号
イ、ロ、ハ、・・・
なんて使ってないということ。
これを、
１０、１１、１２、・・・
は新記号だとか言ってるのが上の論点です。
再帰性とは、そうレベルの話じゃないでしょう。
例えば、３桁の自然数１０９とは、簡略記号としての順序対
（１，０，９）
を考え。
数としては
１００×１＋１０×０＋１×９
と設定するルールですが。
再帰的に把握する場合は、
１のコード，０のコード，９のコード
を考え。
それの３項順序対コードを考えるの。
これが
「再帰的」
という概念のルール。
つまり、
１０、１１、１２、・・・
という新記号を追加してるのではなく。
「１０個の定数記号ベースで再帰的に構成していく。」
というポリシー。
結局、最後は｛１，０｝の二進法に帰着するので。
それ基準に考えれば、誤解の本質が分かり易いカモ。
２進数
１１０
とは、数としては
２の二乗×１＋２×１＋０
ですが。
コードすれば、
１１０
のコード規則に則ります。
一番簡単なのが
ｘｙｚ
の並びそのものを採用する手法ですが。
これは
「並びそのもの」
というメタの１変数関数ですよ。
それを、
「並びの長さが違う」
という理由で
「長さ毎に、全て異なる（コード）関数」
になると言い張るのと同じ愚かさです。
しかし、確かに、
１０１０１１１００１１０１１０１１００００１１・・・
なんてのが果てしなく出現可能なので。
一見すると、この事実が
「可算無限個の記号導入し、しかも再帰的になる。」
という証拠に見えるカモ。
そうじゃないの。
定数記号は｛１，０｝の２個。
「無限小数」
とは、
「それを許容する関数としての集合」
つまり、
ｆ：ω→２
ここで記号“→”は論理的な
⇒（ならば）
ではなく、
「定義域ωから値域２への関数」
これが集合一元論です。
この場合、無限個の｛１，０｝並びを
無限小数
と把握するか、
｛１，０｝リスト
と把握するかは背景理論依存。
有限リスト（順序対）
（ｘ，ｙ）
の場合も、あくまでも、簡略記号です。
そして、ここが大事ですが。
杓子定規に汎用一律の集合表現
｛ｘ，｛ｘ，ｙ｝｝
にまで戻るのではなく。
臨機応変に、上手い集合で表現するのよ。
一般的な汎用手法ではなく、各理論に応じたテクニックが必要。
つまりは、理論状況依存。
実際、上の例では、
「無限長リスト」
をｆ：ω→２で把握したでしょうが。
こう指摘すると、再度、
「各理論レベルでは無限個の関数が出現する。」
とか言い出すのですが。
馬化か。
｛ｘ｜ｘ：ω→２｝
という集合１個だぜ。
無限個の関数は出現しても、
「無限個の関数記号」
は不要で無用。
では、淵野の例では、具体的に、どうなるか？
次回、神の私が示しを付けます。
というわけで、普遍枠内で物事を考える場合。
「再帰的な（可算）無限個の記号」
なんていう概念は使用禁止すべきです。
再帰性を仮定すれば、有限個の記号基準で必要十分なんだから。
つまり、termの場合、有限個の記号からの構成になるの。
ああそれなのに、それなのに(^^♪
ナマジ、自然数
１，２、３、・・・
なんて使うから、本当に無限個の異なる記号が存在すると錯覚し。
有限性の本質が見えなくなるの。
実際、アルファベットは有限個の記号でしょう。
どこの世界の、どんなアルファベットでも。
で、アルファベット使って、term候補の構造体を構成しても。
結局は、再帰性の制約により、有限に帰着するのよ。
「有限個のterm記号を超えた無限（可算）個のterm記号」
なんぞ、猿の戯言。
神が秩序を保つため、成果を強調しておくと。
人生のハイパー論理原理？
（第一階）述語論理のterm設定に許容する個体定数や関数記号は有限個で必要十分。 ┤
（？の数が増えすぎて、一々、チェックしてられない。
今後、数字合わせは弟子の仕事にする。
この皮肉隠喩が分かるかな？）
事はtermレベルでは収まりません。
formulaの基本の述語も有限個ですよ。
無限個の述語使用したければ。
メタの
「第２階述語論理」
に上るか、基本に戻って
ＺＦ（｛ｘ｜｝）
で考えるかするの。
以下、同様で、
「第ｎ階述語論理」
と螺旋に昇っていくの。
こう対比してみると、ＺＦ（｛ｘ｜｝）重層構造が
「無限階」
だと把握できるはず。
脳の退化した地頭が悪い連中が多いらしいので。
まだ不満分子が残っているでしょうから。
殲滅作戦は次回に続く。
これで４１０町目。