2022年7月28日

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2022年7月28日 (馬化の日)

 

ZFから置換公理を除いた公理体系を、私は、
「ZF(*)」
と表示してきたわけですが。
従来、数学のかなりの部分はZF(*)で展開できると考えられてきた模様。
しかも、ZF(*)はシェーマではない。
だから、矛盾とは無縁とか思いたいカモ。
それ、本当かな?
だって、冪集合レベルで隠れφ(x)が潜んでいますよ。
逆に見れば、隠れφ(x)があるからこそ。
ZF(*)でかなりの領域をカバーできると思ったのでしょう。

 

しかし、Δ理論は、ZF(*)世界でも適用できるのですよ。
私の御蔭で、ZF(*)すら矛盾の可能性があると判明したわけです。
これからの集合論はYJ。
いつまでもZFに固執するんじゃない!
都合良く、コウモリみたいに動くなよ。
原罪だぜ。
この導入部から本論に。

 

今回は、φ(x)をtermの観点から見ておきましょうか。
「φ(x)とは何か?
何であるべきか?」
あくまでも、論理式です。
term側じゃないの。
だから、置換公理でのφ(x)は簡略記号導入ではあらしゃいません。
「φ(x)として具体的な論理式を採用する。」
というのが、シェーマの約束事です。 

 

全く同様なんですよ、部分集合でも。
性質φ(x)に対する内包公理経由で。
{x|φ(x)}
を導入するというのが、これまでの素朴集合論の筋書きだったのですが。
ZFでも、部分集合の具体化問題が絡んできます。
置換公理は、φ(x)を使った分出公理のシェーマ
∀X∃A∀x(x∈A ↔ x∈X ∧ φ(x))・・・(1)
を導きます。

 

この(1)は部分集合と不可分の関係ですよ。
具体的には
A={x|x∈X ∧ φ(x)} ・・・(2)
ですね。
よって、何故か、ZFベースでも、簡略記号として
{x|φ(x)}・・・(3)
を使用可能と錯覚したわけだ猿の場合。
典型的な馬化です。  

 

(1)は、あくまでも、集合Aの存在主張ですが。
(2)は、かみまでも、その具体化です。
論理的な強さが違うの。
更に言えば、具体化結果の(3)は集合ですが。
簡略記号(3)がtermならば、 例えば
{x|φ(x)}=⏀
と論理式化されるのですよ。
しかし、φ(x)は論理式。
いくらtermが形式的な記号だとしても。
第一階述語論理のtermに論理式持ち出しては駄目なのよ。

 

それゆえ、重層構造{x|φ(x)}中のφ(x)を論理式ではなく
「何らかの関数(で表現された)記号」
なんぞと思いたい輩も多いカモ。
これで、term設定完了とかね。
そんな魔法じみたことが可能なのか?
少しは、挑戦した連中もいました。
その代表が、ゲーデルのL。
それは成功したのか?
すでに指摘したように駄目ですね。 

 

しかし、馬化は、この指摘でもピンと来ない。
何が悪いのだという猿態度。
それが証拠に、ZFを議論する、どの教科書でも。
平気で、簡略記号(3)を導入しています。
そして、皆、その公理体系をZFだと言ってるのですよ。
その心は?
「(1) vs (2)」・・・(4)
の相互関係を一般化して
「簡略記号(3)も、対応する、しかるべき論理式として記述できる(はず)。」
というもの。
脳タリンの見本ですよ。  

 

何処が、どう駄目なのか、より分かりやすく教えてあげましょうか。
例えば、ZFベースで
∃x(x=φ(⏀))
なんてやらないでしょう。
やれば、第一階述語論理ではなく、第二階述語論理になるからです。
その程度の初歩は分かっているのですよ、猿にも。
ところが、何故か、ZFで、気軽に{x|φ(x)}を簡略記号として使い始めた。
第一階述語論理と言いつつです。
つまり(4)の本質的違いが判ってないの。

 

これは
「存在 vs 具体化」
問題ですよ。
結論を言えば、
「ZF vs ZF({x|})」
は表現同値じゃないのよ。
何を同値な気分になっているのやら。
ここまで指摘されても、まだ、格真利益の何たるかが把握できてないはず。
すでに伏線を張っているのに。
というわけで、愈々、伝家の宝刀を抜くか。

 

宙爆します。
ZF({x|})での決定問題Qを考えてみて御覧。
これの入力には、当然、{x|φ(x)}を使いますが。
このQをZFに翻訳できるかな?
どんな決定問題Q’に翻訳するつもりなのかね。
少しは自分の猿脳使って考えてみ。
猿は、どういう意味で同値と主張しているのかな?
矛盾同値と言ってるのですか?
だったら、この時点で、ZFの矛盾確定なんだけど・・・。

 

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