2022年5月28日

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2022年5月28日 (冪の日)

 

3月の記事で、ωの定義と無限公理の関係について述べておきましたが。

猿は、あの部分を見て議論の流れというか、文脈を誤解したはず。

「無限公理は無数の無限集合の存在保証に過ぎない。

よって、無限公理の具体化ではωにならない。 

ωは最小の無限集合であり、キチンと公理化もできる。」

とか、この2か月に渡り得意げに吹聴してきたカモ。

こういう行為により己の脳タリンを周囲に知らせるのです。

いつものように、悪魔を踏み潰す神の伏線戦略だったのに。

いつまでも罠に引っかかり続ける教科書猿の惨めさよ。

この罠の意味・所在が、今回、明晰判明するという筋書き。

ここから、今回の本論に入ります。

 

前回はZF(⏀,{})のエルブランモデルで対の公理(AP)が成立するかどうかを検討しました。
partやsingularでは、こういう課題を避けて通れないという視点が新しいのよ。
絡むのは、
「存在(証明) vs 具体化」
問題でした。
この論点を回避するため、アドホックに{,}term追加して、
ZF(⏀,{,})
を考えると、(AP)は成立しますが。 

 

それで、集合論という資格があるのか?
無理でしょう。
この程度のエルブラン宇宙では和集合の公理の成否問題が発生しますから。
この為に、更にアドホックに、1変数関数記号
∪(x)
を導入しても、まだ駄目ですね。
冪集合の公理があるから論点回避できない。

 

では、冪集合用に
℘(x)
を導入すれば何とかなるのでは?
無理ですね。
この辺りから、素朴な数感とキチンとした公理化とのズレが発生し始めます。
冪集合の公理
∀X∃A∀t(t∈A ↔ t⊂X)・・・(PS)
に対し、具体化で℘(x)を適用すると、
∀X∀t(t∈℘(X) ↔ t⊂X)・・・(℘)
ですが。

 

ZFにおいて℘(X)は一意決定できますか?
例えば、全体集合を自然数全体ℕとし。
℘(ℕ)を考えると。
これの濃度は連続体仮説の対象になり。
ZFでは一意決定できませんね。
それでも、℘(ℕ)自体はZFで一意決定できていると思うかどうかです。
ここから、もう一歩先に進み、無限集合用に個体定数
ω
を導入すると無限公理からの直訳による一意決定性は破綻します。 

 

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