２０２５年１月２８日 （制約の日）
前回、制約対角線論法という新概念を提示しておきました。
制約Ｃ付きの対角線論法ですが。
この重要性が認知できているかな？
対角線論法は実数の非可算性証明だけで使われるのではないと言いました。
ゲーデルの不完全性定理も一種の対角線論法ですが。
多分、１０知すら出来ない脳タリンが多いでしょうから。
具体例を挙げておきましょうか。
背理法とは別種の対角線論法使った演繹手法の話題です。
以下、実数の人生モデルを流行らすために。
Ｂ（ω）ベースの人生モデル基準で論じていきます。
実数特有の同値類≣を考えましたが。
ここでは、≣類が２個の要素からなる実数のみに着目します。
このような実数は、実質的に、
「有限リスト」
のみを集めたものになります。
だって、０型代表元は
（ｉ１,ｉ２,・・・,ｉｎ,０,０,・・・）
となり、
（ｉ１,ｉ２,・・・,ｉｎ）
と同値ですから
「無限 ｖｓ 有限」
のリスト同値になります。
よって、このような２要素≣類は可算だと分かります。
このような有限リストが、｛１，０｝ベースの形式言語の素になる
「語」
であり。
リストの次数単位でＢ（ω）世界からＢ（ｎ）世界に射影したのだと判らせておいて。
以下の制約対角線論法は、この２要素≣類の０型代表元だけを集めたもので考えます。
実質的には、有限リストの集合です。
これは可算ですから、ズラッと一列に並べることが出来るわけですが。
そこで、制約対角線論法を考え。
この並べ方にＣ工夫をすると。
生成される新リストは、
①２要素≣類に属するもの、つまり１型要素
②２要素≣類には属さないもの
に分かれます。
この場合の制約Ｃを、どう設定するか判るかな？
この期に及んで、並べ方と言われて。
（計算可能）関数を頭に浮かべるようでは話にならしゃいません。
通常の対角線論法の並べ方は素直なω列ですが。
集合論ベースなので、
ω＋α
なんて一列に並べる手法もあるわけで。
（αの具体例としてはωのケースが多いでしょう。
稀に、自然数ｍになるケースがあるカモ。）
この集合論手法を採用すると、猿脳でも少し並べ方の工夫をすれば。
①や②は実現できることが分かるはず。
具体例は自分でやれよ、猿。
こうヒントを与えても。
はしこい反射神経推論猿は
「対角線論法は、あくまでも、ω型の無限リストを生成する手法だ。
一方、この制約対角線論法で得られるリストはω＋α型。
∴対角線論法にそぐわない。」
なんて息巻く可能性がありますが。
フッ、並べる制約はω＋αでも。
得られる無限リストはω型ですよ。
尻尾のαは無視するのよ。
そういう対角線論法だと言ってるの。
オリジナルだと分かるでしょう。
そして、推論が背理法ではないことも。
①か②を問うているのです。
何か、文句あるの？
このように尻尾を端折れば並べ方次第で
③２要素≣類０型
になる可能性すら発生します。
このタイプが、広義の
「自己言及」
となるのです。
ここまで来れば、一般化して、
④ある種の条件Ｑを満たすω列
になるケースも登場することが分かるはず。
だって、そもそも、
「＋α」
制約Ｃを設定したわけですから。
それなりの影響はあるはず。
一方、制約付けない対角線論法で。
ω列を考えた場合。
こういう結論①や②は出るか？
解答はＹｅｓかＮｏか？
分かったかな、制約対角線論法の有り難さと。
対角線論法との本質的な違いが。
これが１０知です。
この伏線から、１００考に入っていきます。
ハイパー論理における
「表現 ｖｓ 実体」
問題のゴールドブレンド。
前回のハイパー神商で隠喩した
「千尋の谷」
とは、どの程度の深みなのか。
少しは肌で感じたほうが身のためです。
では、宙爆開始。
ＺＦ矛盾証明には等号＝に関する
外延性公理ＡＥ
が干渉し始めます。
具体的には
「空集合のパラドックス」
の原因になるわけですが。
土台で、こういう現象が起きると。
数学の各理論Ｔにまで干渉するのは必然。
Ｔでの等号＝とＺＦでの等号＝の相互関係は？
無邪気にＴ考えてるんじゃない！
Ｔの一例として群論を取り上げて。
群論での等号＝と集合論での＝の絡み具合を考究しておくと。
群論なんかは集合論の応用理論であり。
（全てのＴは、多かれ少なかれ、集合論の応用理論ですが。）
台集合が有限の有限群の場合。
エルブラン宇宙も有限宇宙と思う馬化がいるでしょうが。
そうじゃないのよ。
これが
「実体 ｖｓ 表現」
問題。
群論では関数記号＋や×使っているので。
（演算を抽象化して、
「・」
とやっても、同じです。）
個体定数０と１だけの世界でも
０＋１＝１
とかなりますね。
（０が＋に対する単位元です。）
一方、１＋１を、どう処理するかまでは群の公理に含まれず。
１＋１＝０
と決めると、２要素有限群になるわけで。
これが２進法の基礎です。
当然、集合としても
｛１，０｝
の２要素集合となります。
「だったら、有限群論は有限エルブラン宇宙の理論だろう。」
こう考えるのが馬化の証拠。
関数記号導入した瞬間。
エルブラン宇宙は無限になります。
具体的には
０＋０＋０＋・・・＋０（ｎ回）
なんてのが登場しますから。
そのセマンティクスが公理（からの直結証明）で
∀ｎ（ｎ回）＝０
となるのです。
つまり、エルブラン宇宙で成立する
「等号（＝）のセマンティクス」
を決めるのが群論公理の役割り。
有限群の世界ではterm数無限の世界をメタ化し。
term数有限の世界に抽象化した気分になるのカモ。
フフン、青いわ。
レベルが違う話だぜ。
この事実関係を認識した後に。
ＺＦの矛盾の種であるＡＥが群論にどう関与してくるのか。
よ－く考えたまえ。
実際、実数ベースの群論を考察すると。
２進法ベースの実数の人生モデルの重要性が理解でき。
＝も一筋縄ではいかないことが分かり始めるという伏線シナリオ。
何を無邪気にリー群やってるのかね。
圏（カテゴリー）まで持ち出して・・・。
この意味が集合論的に分かるのが譜代の論理猿。
数学でも無理カモ。
外様の物理じゃ、何を言ってるのかすら判るまい。
これで３７７町目。