２０２１年１２月２８日 （ｈａｎの日）
置換公理は性質φ（ｘ）を用いたシェーマです。
そして、内包公理の矛盾により。
φ（ｘ）によるシェーマ性がＺＦ矛盾に関与していることが、薄々、判ってきたとして。
次のような論点が残っていました。
「ＺＦとは証明で置換公理の有限個を抜き出した体系のことだ。
だから、シェーマとしてのＺＦは矛盾しても、有限置換公理採用のＺＦが無矛盾の可能性は残る。」
フッ、甘いわ。
ＺＦ矛盾の証明ができたのですよ。
だったら、その証明作業で採用される置換公理は有限のはず。
その公理体系こそが、前回登場のＺＦ（？）です。
このＺＦ（？）が矛盾しているの。
ならば、どの程度の置換公理なら大丈夫なＺＦ（！）になるのか？
しかし、
「ＺＦ－置換公理のＺＦ（＊）レベルで矛盾してるのでは？」・・・（１）
という懐疑も残ります。
だって、⏀のパラドックスがありますから。
懐疑（１）に誰も答えられない始末。
これが、そして誰もいなくなった１０ホワイトインディアンの悲劇。
脳タリンの惨めさだ。
もう少し、本質的な難しさを暴露しておくと。
場合によっては、ＺＦ系ＺＦ（！）は無矛盾になるカモ。
しかし、翻訳対応ＺＦ（｛ｘ｜｝）系ＺＦ（！）は矛盾カモ。
この場合、
「ＺＦ（！）ベース数学問題Ｘの証明は、どうか？」
（厳かに）
大丈夫なのかい？
ＺＦ（｛ｘ｜｝）系で証明してやしませんか。
マ、いずれにせよ、脳力無いんだから、矛盾判定できないでしょう。
今更、無矛盾と妄想抱けなくなったよなあ、私の所為、というか御蔭で。
一生、悶え苦しめ、猿が！
かくして、数学証明は全て見返す必要がある宿命。
これが、史上名高い、ＺＦ版イロハ丸事件。
ＺＦ（ハ）はカメハメ波を超えたな。
私は、竜馬みたいにイロハ丸事件で詐欺はしないのよ。
まして況や、弥太郎をや。
ちょろいぜ、三菱。
至福１０００年と言ったけど、未来永劫だな、ここまで来ると。
軽く、３０兆円の損害賠償金要求できる格。
なにせ、私の領域は後代まで響く。
恒大なんぞ、屁みたいなものだな、プーよ。
ホント、Ξぜ。
まだかよ、Ｐｅｎｆｏｎでの支払いは。
この導入部から、本論に。
まずは一般論から。
第一階述語論理というのがあって。
これは、ｔｅｒｍとｆｏｒｍｕｌａから形成されますが。
ＺＦが第一階述語論理という場合、ｆｏｒｍｕｌａだけに注目しています。
ｔｅｒｍには言及してないの。
こういうのを
「半公理体系」
と呼びましょうか。
この種の専門用語の定義が大事です。
従来との違いがハッキリと認識できるからです。
ＺＦの具体例で半公理体系という概念が大事だと分かるはず。
この半公理体系という用語は私のオリジナルで。
今まで、誰も定義も指摘もしてなかったのですよ。
まずは、この事実関係を強調しておいて。
さっそく、創始者特権を行使します。
英語の翻訳では、
「semi-axiomatic (formal) theory」
としたいところですが、歴史記念に
「han-axiomatic (formal) thoery」
と独自性を打ち出します。
このhanはmiso（味噌）なんかと同様の和製英語です。
汎にも通じますが、寧ろ、征服者の隠喩。
歴史上、西洋に攻め込んだhun族や皇帝khanを超えるという意気込み。
なにせ、神によるヨハネの黙示録ですから。
このように、仰々しく、半公理体系を定義したのには理由があります。
ｔｅｒｍとｆｏｒｍｕｌａを峻別した半公理体系の実在から。
述語論理の基本の改革が始まるとは、猿は知る由もないのであった。
具体的には、
「公理体系のｆｏｒｍｕｌａ中にｔｅｒｍ記号が全て出現する形式公理化」・・・①
ｖｓ
「公理体系のｆｏｒｍｕｌａ中にｔｅｒｍ記号の一部しか出現しない公理化」・・・②
という区別をすることができます。
①と②を区別するため、今後、①のタイプを
「正則公理体系」
と呼び、ライバルの②のタイプを
「非正則公理体系」
と呼ぶことにします。
勿論、史上初の定義で、私のオリジナルです。
数学分野での“正則”の英訳は、通常は、regularなんですが。
創始者特権で、
「full」
に意訳します。
一方、非正則を、irregularとせず、
「part」
と意訳します。
当然、ビジネス世界からの隠喩です。
神が導入したのですから、今後の論理の教科書は、全て、従うこと。
どうじゃ、ｈａｎに侵入される気分は、ホワイトインディアンや、そのパシリよ。
君らの仕事はｐａｒｔか、将又、ｆｕｌｌに昇格できるのか？
実は、公理体系は更に追加の細分化できます。
「ｔｅｒｍに登場しない記号がｆｏｒｍｕｌａに出現する」・・・③
というケースです。
その見本が、ＺＦでの無限公理。
｛ｘ｝使わず、無限公理書いてみ。
できるかな、猿に。
というわけで、③のような形式公理体系を
「特異公理体系」
と名付けます。
英訳は、奇を衒わずに、
ｓｉｎｇｕｌａｒ
としておきましょうか。
（ａｂｎｏｒｍａｌじゃ印象悪いし。）
これらの３種で揃い踏み。
これらの定義が、ハイパー論理の基礎です。