2021年4月28日

更新日:

2021年4月28日 (σの日)

 

前回

ZF(#’)-(ω)+¬(ω)・・・(1)

vs

メタ(ZF(#’)-(ω))・・・(2)

を考え、(1)+(2)で矛盾する時。

(1)は無矛盾なのに、(1)+(2)が矛盾する可能性について言及しました。

こうなると、ZF矛盾に到達できません。

何とか、(1)+(2)の矛盾から(1)の矛盾を出したいわけだ。

この為に、どうすれば良いのか?

というわけで、以下、前回の続きになります。

 

まずは、今までのコード先を{1,0}語ベースから。

自然数ベースに変更し。

更には、自然数のリストで留めず、最後まで自然数としてコードするの。

これがゲーデル方式ですが。

キチンと区別するため、自然数へのコードをσとすると。

集合表現{x|φ(x)}のコード結果

σ({x|φ(x)})

が決まり。

(ZF(#’)-(ω))SET((⏀2))のコード結果

σ((ZF(#’)-(ω))SET(⏀(2)))

も決まります。

 

そこで、自然数

σ((ZF(#’)-(ω))SET(⏀(2)))

σ((ZF(#’)-(ω))SET(⏀(ω)))

の大きい方より、更に大きい自然数Jを取り。

ωの代わりに、有限のJまで考えます。

これで、

「σによるコード結果がJ以下になる{x|φ(x)}表現」

というものが数学的にハッキリ決まります。

この表現族をYとすると。

Yには⏀(2)も⏀(ω)も含まれます。

自然数へのコードというのは、こういう時に便利なのよ。

分かったかな、コードの伏線が。

但し、計算機向けには、{1,0}語の方が馴染むな。

実際、計算量理論と繋がるし。

これについては、後に。

 

さて、勝負は、ここからです。

前回、メタのβ’の方はV(ω)で考えていたわけですが。

これは、ZF(#’)-(ω)からの(ω)の独立性を確認したかったから。

この確認がV(ω)で出来ることは当然ですが。

V(J)で確認できるのか?

もしできるなら、(1)+(2)の矛盾の原因である

「β’で(ω)を使う」

が回避できるように見えます。

しかし、V(ω)を途中でチョンギルと、ZF(#’)-(ω)のモデルになりませんね。

冪集合の公理なんかが成立しなくなりますから。

よって、この方向の考察はストップ。

Jを考えたのは、別の伏線意図があるからです。

 

以下、

(ZF(#’)-(ω))SET(x)の定義中の

(∃α)(x∈V(α))

でのαの具体例としてJを採用し。

(ZF(#’)-(ω))├ x∈V(J)

ベースで考察します。

これで、無限が介入する余地がなくなるという作戦。

この結果、集合関数μ’(x)が、“”コードの場合と同様に決まります。

 

さて、上で気軽に

「Yには⏀(ω)が含まれる」

と述べました。

σコードで考えれば、確かに含まれます。

一方で、⏀(ω)の定義は(ω)公理から来ています。

具体的には

∃Y(⏀∈Y∧ ∀x∈Y(x∪{x}∈Y))

ですね。

ここから

⏀(ω)={Y|(⏀∈Y∧ ∀x∈Y(x∪{x}∈Y))}・・・(3)

と設定しました。

上で、この⏀(ω)はYに属すると言いましたが。

何故、そう思ったのか?

σ((ZF(#’)-(ω))SET(⏀(ω)))がJより小さいからですね。

しかるに、一方で、(ω)はV(ω)で評価するとNoのはず。

それが、(ZF(#’)-(ω))からの独立ということです。

だったら、⏀(ω)はYに属してはいけないのでは?

これは、どういう相克なのか?

ここでZF矛盾の本質に迫っているのです。

 

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